La solución te la ha dado Bigmich. Lleva el coche a un profesional, porque me parece que todavía no has dado con ninguno, sobre todo los que han mirado el enganche.
Si el coche funciona bien sin la caravana, el problema lo origina la caravana.
Si la instalación pasa por centralita del coche, ésta puede ser la causa, pero me parece que no hay centralita. Cuando hay un consumo excesivo, la centralita corta.
No dices en ningún momento cual es el consumo cuando enganchas la caravana, cuando enciendes las luces, etc...solo hace falta un polímetro y alguien que sepa medir e interpretar lo que mide.
Yo creo que tienes un consumo excesivo, el motivo: mal contacto de la piña, cableado deficiente, alguna bombilla, etc.. es ir descartando elementos.
Ve a un profesional.
Te cuento mi caso, coche nuevo Honda-CR-V, le colocan el enganche y la instalación. Sin llegar a enganchar la caravana, cuando voy a cogerlo a los dos dias, está tieso de batería. Lo llevo, lo revisan y como no saben que pasa, le cambian la batería. A los dos dias, tiesa otra vez. Tomo cartas el encargado del concesionario, le deje el coche y lo dejaron testeado toda una noche y detectaron que tenia un consumo diez veces superior a lo estipulado, en reposo. Repasan la instalación y tenia un relé instalado al revés, que consumía constantemente.
¿Que consume tu caravana? Sabes de cuantos watios son las bombillas, los sumas y divides por 12 V y te da los amperios (serán miliamperios) que debe de consumir, aproximadamente.
Por cierto, asegúrate que la masa en buena y que el cable es suficiente. He visto algunos problemas para volverse loco y que se solucionaron con una buena masa (me refiero al cable de negativo que va de la piña al chasis-negativo del coche), en ocasiones está oxidado, cableado de sección mínima, etc..
Suerte y un saludo