Hola, bienvenido.
Pues yo no soy de la zona pero de lo que yo conozco, y viajando siempre con varios perretes, te puedo recomendar a título personal todo esto:
Desde la costa de Asturias (el interior lo conozco menos) oriental, tienes el camping de Colombres o Las Arenas en Pechon (Cantabria en el límite con Asturias), dando por hecho que Cantsbria no vais, que también es espectacular. En Pechon buena playa en el mismo camping pequeña, pero algo peligrosa, donde puedes sacar a la perrita temprano o atardecer, este camping para mí es espectacular por vistas y por esencia.
También está la opción de Colombres tienes un prado inmenso delante del camping para que se vuelva loca la perra corriendo y brincando. De ahí yo visitaría Llanes y sus playas, tienes un montón para elegir, bufones de
Pría...
Desde ahí hacia el interior (aunque según leo tu lo harías a la inversa), visitar Lagos de Covadonga, Cangas de Onis y Arriondas y haceros un descenso del sella.
En la zona centro (yo aún la tengo pendiente) quiero visitarla muy pronto, iremos a ver Ribadesella y algunos pueblecitos como Lastres, Tazones, con críos a Colunga y huellas de dinosaurio... Y si se puede ver alguna cueva prehistórica. Aquí recomiendan playa de Vega para ir con perros buen bosque hasta la playa para soltarla, pero no admiten reserva. Nosotros hemos optado por Arenal de Moris
En la zona de Costa occidental Luarca y Cudillero como pueblos maravillosos, faro de Cabo Vidio, playa del silencio... Y de campings te puedo recomendar Los Cantiles en Luarca (Campismo auténtico y vistas fantásticas) o ya más pegado a Galicia tienes Amaido y la zona de Taramundi, precioso paisaje, aunque este camping lo veo más para disfrutarlo con niños.
Ya en Lugo, indispensable playa de las catedrales (reservar por Internet pues hay cupo y con marea baja) perderte un poco por las playas de la Mariña Lucense, un arroz en Rinlo, y como camping sin dudarlo el Gaivota, la pedazo playa de enfrente del camping es un lujo recorrerla con la perrita al amanecer o atardecer (también con marea baja). Ribadeo y a nosotros nos encanta el faro de Isla Pancha al atardecer, es pura magia (te puedes llevar a la peludita)
A partir de ahí me queda zona por ver, pero lo que tengo pendiente es Viveiro, Estaca de Bares, Cedeira, Valdoviño, San Andrés de Teixido... Los camping por aquí son más flojillos según cuentan, pero la zona creo que es espectacular y muy poco masificada.
Entre esta zona y la Costa da Morte no puedo decirte mucho, pero ya en la Costa da Morte, que es un espectáculo para los sentidos, yo me enamoré de la senda que recorre el cementerio de los ingleses desde Cabo Vilan (imprescindible, aquí no tendrás ningún problema para ir con la perrita) y las playas salvajes de esa zona, Camariñas, Muxía, A Virxen da Barca, y toda la ruta de los faros de la Costa y sus playas terminándola en Fisterra al atardecer. En toda esta zona hay millones de playas totalmente salvajes donde llevarte a la perrita.
Nos quedamos en el camping Lagomar, super tranquilo y fantástico.
Desde Fisterra para el sur ya empieza a cambiar el paisaje, y para ver la cascada de Ezaro, la playa de Carnota, la de Area Mayor con el monte Louro, los hórreos, y visita a Muros, precioso pueblo marinero.
Aquí nos quedamos en el camping San Francisco, familiar y tranquilo aunque también recomiendan A Vouga, que tiene vistas.
Y ya la zona de las Rías Baixas que la tenemos en lista, pero hay tanta maravilla que no me atrevo a decir nada sin verla, que mejor lo hagan los expertos..,
Se me habrán quedado millones de cosas, lo que yo te recomiendo es únicamente lo que yo conozco, y los camping en los que hemos estado o elegido, todos son recomendables con perritos, y en general, la mayoría súper tranquilos.
Las playas pues aunque en la mayoría oficialmente no se admitan perros, en todas las que te indico siempre hemos encontrado mucha tolerancia sobre todo si evitamos horas punta, temprano y por la tarde no hemos tenido problemas, salvo por supuesto Las Catedrales, o algunas playas más concurridas como las de Llanes...
Un viaje precioso. Que lo disfrutéis.
Edito para comentarte que en León, cerca de Villafranca del Bierzo, hay un camping en mitad de naturaleza con un río que es maravilloso, de básico que es e integrado con la naturaleza. Se llama Valle do Seo. Muy cerca tienes un pueblo, ruta de peregrinos que se llama O Cebreiro, digno de ser visitado, los Ancares para hacer rutas, y también las Medulas bien merecen una visita y podeis ir con la perrita. No sé si te pilla lejos de ruta.
Buen viaje.